Asal sayı nedir, nasıl bulunur ve hangi sayılar asal sayıdır? Bu
soruların cevaplarını merak ediyorsanız, bu makaleyi okumaya
devam edin. Asal sayılar, matematikte çok önemli bir yere sahip
olan ve birçok uygulama alanı bulunan sayılardır. Peki asal sayı
nedir? Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen
1’den büyük pozitif tam sayılardır. Asal sayıların 1 ve
kendisinden başka tam böleni yoktur. Örneğin; 5 sayısı 3’ e ya da
2’ye tam bölünmez. Sadece 1’e ve kendisine tam bölünebilir o
yüzden 5 asaldır.
Asal Sayı Nedir?
Asal sayı nedir sorusunun cevabını vermeden önce, asal olmayan
sayılara bileşik sayı denir. Bileşik sayılar, kendisinden başka
en az bir tam bölene sahip olan 1’den büyük pozitif tam
sayılardır. Örneğin; 6 sayısı hem 2’ye hem de 3’e tam
bölünebilir. Bu yüzden 6 bileşiktir. Bileşik sayılar, asal
çarpanlara ayrılabilirler. Asal çarpan, bir sayının sadece
kendisi ve 1’e bölünebilen çarpanlarıdır. Örneğin; 12’nin asal
çarpanları 2 ve 3’tür. Çünkü 12 = 2 x 2 x 3 şeklinde yazılabilir.
Asal sayı nedir sorusunun cevabını daha iyi anlamak için, asal
sayıların özelliklerine bakalım:
- Asal sayıların en küçüğü 2’dir. Tek çift asal sayı da budur.
- Asal sayıların sonsuz olduğu kanıtlanmıştır. Yani ne kadar
büyük bir sayı olursa olsun, ondan daha büyük bir asal sayı
bulmak mümkündür.
- Asal sayıların arasındaki en küçük fark 2’dir. Buna ikiz
asallar denir. Örneğin; (3,5), (5,7), (11,13) gibi.
- Bir asal sayının rakamları toplamının da asal olması
gerekmez. Örneğin; 17 bir asal sayıdır ama rakamları toplamı olan
8 asal değildir.
- Bir asal sayının rakamlarının yerini değiştirerek elde edilen
yeni sayının da asal olması gerekmez. Örneğin; 13 bir asal
sayıdır ama rakamlarının yerini değiştirerek elde edilen 31 de
asaldır. Ancak rakamlarının yerini değiştirerek elde edilen 31’in
tersi olan 13 de asaldır.
Asal Sayı Nasıl Bulunur?
Asal sayı nasıl bulunur sorusunun cevabını vermek için, birkaç
yöntem vardır. Bunlardan en yaygın olanları şunlardır:
-
Kalansız bölme yöntemi: Bu yöntemde,
bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, o sayıyı
kendisinden küçük olan tüm doğal sayılara bölerek deneyelim.
Eğer hiçbirine kalansız bölünmüyorsa, o zaman o sayı asaldır.
Örneğin; 17’yi kendisinden küçük olan tüm doğal sayılara
bölelim: 17/16 = 1 kalan 1, 17/15 = 1 kalan 2, …, 17/2 = 8
kalan 1, 17/1 = 17 kalan 0. Görüldüğü gibi hiçbirine kalansız
bölünmediği için, o zaman o sayı asaldır.
-
Eratosthenes’in süzgeci yöntemi: Bu
yöntemde, bir sayıya kadar olan tüm asal sayıları bulmak için,
o sayıdan küçük olan en büyük asal sayıyı bulana kadar şu
adımları tekrarlayalım: 1) 2’den başlayarak, o sayıya kadar
olan tüm doğal sayıları sıralayalım. 2) 2’yi asal olarak
işaretleyelim ve 2’nin katları olan sayıları listeden
çıkaralım. 3) Listede kalan en küçük sayıyı asal olarak
işaretleyelim ve onun katları olan sayıları listeden çıkaralım.
4) Listede kalan en küçük sayının karesi, o sayıdan büyük olana
kadar bu işlemi tekrarlayalım. Örneğin; 30’a kadar olan tüm
asal sayıları bulmak için, şu adımları izleyelim: 1) 2’den 30’a
kadar olan tüm doğal sayıları sıralayalım: 2, 3, 4, 5, …, 28,
29, 30. 2) 2’yi asal olarak işaretleyelim ve 2’nin katları olan
sayıları listeden çıkaralım: 2, 4, 6, …, 28, 30. 3) Listede
kalan en küçük sayı olan 3’ü asal olarak işaretleyelim ve 3’ün
katları olan sayıları listeden çıkaralım: 2, 3, 9, …, 27. 4)
Listede kalan en küçük sayının karesi olan 5’in karesi (25), o
sayıdan (30) büyük olduğu için dururuz. Listede kalan sayılar
asaldır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
-
Fermat’ın küçük teoremi yöntemi: Bu
yöntemde, bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, o
sayının bir tam kuvveti olmayan herhangi bir a tam sayısı için
a^(p-1) - 1’in p’ye tam bölünüp bölünmediğine bakarız. Eğer her
zaman tam bölünüyorsa, o zaman o sayı asaldır. Örneğin; 17’nin
asal olup olmadığını anlamak için, herhangi bir a tam sayısı
için a^(17-1) - 1’in 17’ye tam bölünüp bölünmediğine bakarız.
Örneğin; a = 2 alalım. O zaman (2^(17-1) - 1) / 17 = (131072 - 1)
/ 17 = (131071) / 17 = (7710 + (11/17)) / 17 = (453 + (11/17)) /
17 = (26 + (11/17)) / 17 = (1 + (11/17)) / 17 = (0 + (11/17)) /
17 = (0 + (0/17)) /
17 = (0 + (0/17)) /
17 = (0 + (0/17)) /
= (0 + (0/17)) /
= (0 + (0/17))
= (0)
Görüldüğü gibi tam bölündüğü için, o zaman o sayı asaldır.
Hangi Sayılar Asal Sayıdır?
Hangi sayıların asal olduğunu bulmak için yukarıda anlattığımız
yöntemleri kullanabiliriz. Ancak bazen daha hızlı ve kolay bir
şekilde bunu anlamak isteyebiliriz. Bunun için bazı ipuçları
vardır:
- Bir doğal sayının son rakamının tek olması ve son rakamının
beşe bölünmemesi gerekir. Çünkü çift rakamların hepsi ikiye
bölünür ve beş rakamların hepsi beşe bölünür. Örneğin; son rakamı
iki veya beş olan hiçbir doğal sayı asal değildir.
- Bir doğal sayının rakamları toplamının üçe
bölünmemesigerekir. Çünkü üç rakamların hepsi üçe bölünür.
Örneğin; rakamları toplamı üç olan hiçbir doğal sayı asal
değildir.
- Bir doğal sayının son iki rakamının 25, 50 veya 75 olmaması
gerekir. Çünkü bu sayılar 25’e bölünür. Örneğin; son iki rakamı
25, 50 veya 75 olan hiçbir doğal sayı asal değildir.
- Bir doğal sayının son üç rakamının 125, 250 veya 375 olmaması
gerekir. Çünkü bu sayılar 125’e bölünür. Örneğin; son üç rakamı
125, 250 veya 375 olan hiçbir doğal sayı asal değildir.
- Bu ipuçları, bir sayının asal olmadığını anlamak için
kullanılabilir. Ancak bunlar yeterli değildir. Bir sayının asal
olduğunu kesin olarak söylemek için, yukarıda anlattığımız
yöntemleri kullanmak gerekir.
100'e Kadar Asal Sayı Örnekleri
Asal sayı örnekleri vermek için, ilk 100 asal sayıyı
sıralayabiliriz:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Bu sayılardan bazılarına daha yakından bakalım:
53 asal sayı mı?
53 bir asal sayıdır. Çünkü sadece kendisi ve bir’e tam
bölünebilir. Kendisinden küçük olan tüm doğal sayılara
bölündüğünde kalan verir. Örneğin; (53/2) = (26 + (1/2)), (53/3)
= (17 + (2/3)), …, (53/52) = (1 + (1/52)).
71 asal sayı mı?
71 bir asal sayıdır. Çünkü sadece kendisi ve bir’e tam
bölünebilir. Kendisinden küçük olan tüm doğal sayılara
bölündüğünde kalan verir. Örneğin; (71/2) = (35 + (1/2)), (71/3)
= (23 + (2/3)), …, (71/70) = (1 + (1/70)).
91 asal sayı mı?
91 bir asal sayı değildir. Çünkü kendisinden başka tam bölenlere
sahiptir. Örneğin; hem 7’ye hem de 13’e tam bölünebilir. Yani
(91/7) = (13), (91/13) = (7). Bu yüzden 91 bir bileşik sayıdır ve
asal çarpanları 7 ve 13’tür.
(Haber Merkezi)
